【統計検定2級】離散型確率変数

今回のテーマ
一言でいうと
身近な例で考えてみる
連続型確率変数との違い
確率質量関数（PMF）とは？
確率質量関数が満たすべき2つのルール
1. 1. 各確率は0以上1以下
2. 2. すべての確率を足すと1
代表的な離散型確率分布
練習問題
1. 【問題】
2. 解答・解説
まとめ
参考関連用語

今回のテーマ

今回のテーマは「離散型確率変数（Discrete Random Variable）」です。

確率変数には離散型、連続型があります。

連続型が多い印象ですが、離散型もサイコロの確率とかで見るので、当然重要でしょう。

連続型との違いをおさえつつ学んでいきます。

一言でいうと

離散型確率変数とは、一言でいうと、

「個数や回数のように、値が飛び飛び（カウント可能）になっている確率変数」

のことです。

「離散」という言葉は「離れて散らばっている」という意味を持ち、数学や統計学では、取りうる値を1つずつ数えることができるものを指します。

ここで重要なのは、「離散型＝整数」ではないということです。

たとえば、取りうる値が $0.5, 1.5, 2.5$ のように飛び飛びになっていても、1つずつ数えられるなら離散型です。

身近な例で考えてみる

イメージを掴むために、具体例を見てみましょう。

サイコロを振ったときの出目 $X$
→ 取る値は $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のいずれか（ $1.5$ という目は出ない）
コインを3回投げたときに出る「表の回数」 $X$
→ 取る値は $0, 1, 2, 3$ 回（ $2.3$ 回という結果はない）
1時間に店舗へ来店する「お客さんの人数」 $X$
→ 取る値は $0, 1, 2, 3, \dots$ 人（ $3.5$ 人は存在しない）
100個の製品に含まれる「不良品の個数」 $X$
→ 取る値は $0, 1, 2, \dots, 100$ 個

このように、「1つ、2つ…」「1回、2回…」と数えられる値をとるものが離散型確率変数です。

もちろん、「離散型＝個数や回数だけ」というわけではありません。

ポイントは、取りうる値が有限個、または無限でも1つずつ数えられる（可算である）ことです。

連続型確率変数との違い

確率変数は「離散型」と「連続型」に分けて考えることができます。

違いを表で整理します。

項目	離散型確率変数	連続型確率変数
値の性質	飛び飛びの値（有限個または可算個）	連続した範囲の値
具体例	サイコロの目、回数、人数、個数	身長、体重、時間、気温など
使う関数	確率質量関数（PMF）	確率密度関数（PDF）
1点の確率	$P(X=x)$ を直接考えられる	連続型では通常 $P(X=x)=0$
確率の求め方	確率を足し合わせる	密度を積分して求める

連続型では、特定の1点にぴったり一致する確率は0となるため、ある範囲に入る確率を求めます。

一方、離散型では、「特定の値 $x$ を取る確率 $P(X=x)$ 」を直接考えることができます。

ここが大きな違いですね。

確率質量関数（PMF）とは？

離散型確率変数を扱う上で欠かせないのが「確率質量関数（Probability Mass Function : PMF）」です。

難しそうな名前ですが、要するに、

「具体的な値 $x$ を入れたら、その値になる確率 $P(X=x)$ を返してくれるルール」

のことです。

f(x)=P(X=x)

例えばサイコロなら、

f(3)=P(X=3)=\frac{1}{6}

となります。

つまり、

「3が出る確率を教えて！」

と聞いたら、

「 $\frac{1}{6}$ です！」

と返してくれるのがPMFというイメージです。

確率質量関数が満たすべき2つのルール

離散型確率変数の確率質量関数 $P(X=x_i)=p_i$ は、基本的に以下の条件を満たします。

1. 各確率は0以上1以下

0 \le p_i \le 1

まぁ、確率なので当然ですね。

2. すべての確率を足すと1

\sum_i p_i=1

こちらも当然ですが重要です。

例えばサイコロの場合、 $1\sim6$ の目が出る確率はそれぞれ $\frac{1}{6}$ なので、

\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=1

となります。

つまり、

「どれかの目が出る確率を全部合わせたら100%」

ということですね。

このようなPMFの条件は、有限個の場合だけでなく、取りうる値が無限個でも成り立ちます。

代表的な離散型確率分布

統計学でよく使われる、離散型確率変数に従う代表的な分布をいくつか紹介します。

1. 離散一様分布

すべての値が出る確率が等しい分布です。

例として、イカサマのないサイコロの出目などがあります。

2. 二項分布 B(n,p)

「成功か失敗か」の2通りしかない試行を、一定の条件のもとで $n$ 回繰り返したとき、成功する回数 $X$ が従う分布です。

例えば、コインを10回投げて表が出る回数などですね。

二項分布は代表的な離散型確率分布の一つです。

3. ポアソン分布 P_o(λ)

一定の時間や空間の中で、ある事象が何回発生するかを表す分布です。

例えば、

1時間あたりのメール受信件数
1時間あたりの来店者数
一定期間の事故件数

などです。

特に、一定の時間・空間あたりの発生回数を扱うときによく登場します。

4. ベルヌーイ分布

試行を1回だけ行い、「成功（1）か失敗（0）か」を表す最もシンプルな分布です。

二項分布が「成功か失敗かの試行を何回も行って、成功回数を見る」のに対して、ベルヌーイ分布は1回だけというイメージです。

練習問題

理解度を確認するための4択問題です。

離散型確率変数の特徴について考えてみましょう。

【問題】

離散型確率変数および確率質量関数に関する記述として、最も適切なものを次の①〜④の中から1つ選んでください。

① 人の「身長」や「体重」は、細かく数えることができるため離散型確率変数に分類される。

② 離散型確率変数の確率質量関数において、実現値 $x_i$ に対する確率 $P(X=x_i)$ をすべての値について足し合わせると、必ず $1$ になる。

③ 離散型確率変数では、特定の1点における確率 $P(X=a)$ は常に $0$ となるため、確率を求める際は範囲で積分する必要がある。

④ 確率質量関数の縦軸は「確率密度」を表しており、グラフの高さそのものは確率を表さない。

解答・解説

正解：②

① 誤り

「身長」や「体重」は、理想化すれば連続的な値を取るため、連続型確率変数として扱います。

「細かく数えられるから離散型」ではなく、取りうる値が飛び飛びで、1つずつ数えられるかどうかがポイントです。

② 正しい

離散型確率分布では、取りうるすべての値に対する確率を足し合わせると、全確率である $1$ （100%）になります。

③ 誤り

特定の一点での確率が $0$ になり、積分（面積）で確率を求めるのは、連続型確率変数の特徴です。

離散型では、特定の1点に対する確率 $P(X=a)$ を直接考えることができます。

④ 誤り

確率密度を扱うのは連続型の確率分布です。

離散型のPMFでは、 $P(X=x)$ そのものが確率を表します。