統計検定を勉強してると確率変数ってのが出てきます。
ｘやらＸやらで毎回混乱するので、知識を定着させるためにメモしておきたいと思いました。
といいつつ、また忘れるんだろうなぁ・・・・ｗ
一言でいうと？
確率変数とは、一言でいうと、
「偶然（確率）によって値が決まる変数のこと」
です。
例えば、サイコロを振ることを考えてみます。
サイコロを振る前は、1〜6のどの目が出るか分かりません。
そこで、サイコロを振って出た目を確率変数 X とすると、
X \in {1,2,3,4,5,6}となります。
そして公平なサイコロなら、それぞれの値を取る確率は、
P(X=1)=P(X=2)=\cdots=P(X=6)=\frac{1}{6}です。
ここで注意したいのが、
「1」という数字そのものが確率変数ではない
ということです。
「1」は確率変数 X が取ることのできる具体的な値です。
つまり、
- X → 確率変数
- 1 → X が取る具体的な値
という関係です。
統計学では大文字の X や Y を確率変数に使うことが一般的です。
まぁ統計学者が書いていったのでしょう…（由来なんてそんなもんさ）
一方、普通の数学に出てくる変数 x は、方程式などの中で値を表すために使われます。
例えば、
x+2=5なら、
x=3と決まります。
対して、確率変数 X は、
「実験や観測をするまで、どの値になるか分からない。ただし、それぞれの値が生じる確率は決まっている」
というものです。
身近な例は？
イメージを掴むために、具体例を見てみます。
- サイコロを1回振ったときの出目 X
→ X は 1,2,3,4,5,6 のいずれかの値をとります。振る前はどの目が出るか分かりません。 - コインを3回投げたときに出る「表の回数」X
→ X は 0,1,2,3 のいずれかの値をとります。 - ランダムに選んだ1人の身長 X
→ X は 165.4\text{ cm} や 172.1\text{ cm} など、選ぶ人によって値が変わります。 - あるお店に1時間でやってくる来客数 X
→ その時々の状況によって、0 人だったり 5 人だったりします。
このように、偶然によって結果が決まる現象の数値を表す変数が確率変数です。
英語で random variable と言って、ランダムって入ってますねぇ。
大文字 X と小文字 x の違いは？（同じアルファベット使うなよぉ）
統計学の教科書を読んでいると、P(X=x) や P(X\leq x) という表記がよく出てきます。
「大文字と小文字で何が違うの？」
と引っかかりやすいポイントですので、しっかり整理しておきましょう。
| 記号 | 名称 | 意味・役割 | 具体例（サイコロ） |
|---|---|---|---|
| X（大文字） | 確率変数 | 偶然によって値が決まる変数 | 「サイコロの出目」を表す |
| x（小文字） | 値・実現値 | 確率変数が取る具体的な値 | 「1」や「4」など |
例えば、
P(X=3)という表記は、
「確率変数 X が、具体的な値 3 をとる確率」
という意味になります。
公平なサイコロなら、
P(X=3)=\frac{1}{6}です。
つまり、
大文字の X は「確率変数」
小文字の x は「その確率変数が取りうる具体的な値」
Xのほう覚えて、xはもう一個のほうで覚えておこう。。。
確率変数の2つの種類（離散型と連続型）
確率変数は、取りうる値の性質によって大きく2つのタイプに分類されます。
この分類は、確率の計算方法に関わる非常に重要なポイントです。
1. 離散型確率変数（Discrete Random Variable）
値が「飛び飛び（カウントできる）」になっている確率変数です。
例えば、
- サイコロの目（1,2,3,4,5,6）
- コインの表が出る回数（0,1,2,\dots）
- WebサイトのPV数（0,1,2,\dots）
- 商品の売上個数（0,1,2,\dots）
などです。
離散型の場合、それぞれの値 x_i に対して、
P(X=x_i)という確率が直接割り当てられます。
この関係を表す関数を「確率質量関数（PMF）」と呼びます。
例えばサイコロなら、
P(X=x)=\frac{1}{6}\quad(x=1,2,3,4,5,6)となります。
2. 連続型確率変数（Continuous Random Variable）
値が「切れ目なく連続している（測定するもの）」確率変数です。
例えば、
- 人の身長や体重
- タスクにかかる時間や待ち時間
- 気温
- 降水量
などがあります。
例えば身長を確率変数 X とすると、
170.5\text{ cm} 170.51\text{ cm} 170.512\text{ cm}のように、理論上は細かく値を考えることができます。
確率密度関数 f(x) を持つ連続型確率変数では、特定の1点について、
P(X=a)=0となります。
そのため、
「ぴったり 170.0000\dots\text{ cm} になる確率」
ではなく、
「169cm〜171cmに入る確率」
のように範囲で確率を考えます。
このとき、確率密度関数のグラフと横軸に囲まれた面積が確率になります。
P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)dx要は連続の場合は、先ほどの170.5、170.51、170.512・・・のように無限に確率変数が出てくるので、ピンポイントな確率は求められないということです。
練習問題
理解度を確認するための4択問題です。
確率変数の性質について考えてみましょう。
【問題】
確率変数に関する記述として、最も適切なものを次の①〜④の中から1つ選んでください。
① 確率変数は「偶然によって値が決まる変数」であり、試行を行う前であってもその値は1つに固定されている。
② 離散型確率変数と連続型確率変数の違いは、取りうる値が正の数か負の数かによって決まる。
③ 確率密度関数を持つ連続型確率変数 X において、特定の1点 a における確率 P(X=a) は 0 である。
④ 確率変数 X が取りうるすべての値に対応する確率を足し合わせると、分布の形状によって 0 から 1 の間の異なる値になる。
解答・解説
正解：③
① 誤り
確率変数は、試行や観測の結果によって具体的な値が決まります。
試行を行う前には、どの値になるかは確定していません。
例えばサイコロの出目を X とした場合、振る前から「必ず3になる」と決まっているわけではありません。
一方で、それぞれの値を取る確率は決まっています。
② 誤り
離散型と連続型の違いは、値の正負ではありません。
取りうる値が飛び飛びなのか、連続しているのか
によって分類されます。
例えば、
- サイコロの出目 → 離散型
- コインの表の回数 → 離散型
- 身長 → 連続型
- 時間 → 連続型
となります。
負の値を取るかどうかは、離散型・連続型の分類とは関係ありません。
③ 正しい
確率密度関数を持つ連続型確率変数では、特定の1点における確率は、
P(X=a)=0となります。
確率は、ある範囲について確率密度を積分することで求めます。
P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)dxつまり、確率密度関数では高さそのものが確率なのではなく、範囲における面積が確率になります。
④ 誤り
確率分布として成立するためには、全体の確率は必ず1になります。
離散型なら、
\sum_xP(X=x)=1となります。
連続型なら、
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1となります。
したがって、分布の形状によって0〜1の間で変わるわけではありません。
まとめ
今回は「確率変数とは何か？」について解説しました。
- 確率変数は「偶然によって値が決まる変数」のこと
- 大文字 X は「確率変数」を表すことが一般的
- 小文字 x は「確率変数が取る具体的な値」を表すことが一般的
まずはここの違いを覚えておきたい。
試験で見たときもどっちがどっち？と迷わなくなります。
特に今回覚えておきたいのは、
P(X=x)という表記です。
これを見たときに、
「確率変数 X が、具体的な値 x を取る確率」
と読めるようになれば、かなり理解しやすくなると思います。
「確率変数 X」という言葉の意味がしっかり掴めると、このあとに学ぶ「確率分布」「期待値」「分散」といった概念の理解もスムーズになります。
また忘れそうなので、ここに「メモ」として書いておいた次第ですｗ
参考 関連用語
| 用語 | 簡易的な説明 |
|---|---|
| 確率変数 X | 偶然によって取る値が決まる変数 |
| 値・実現値 x | 確率変数が実際に取った、または取りうる具体的な値 |
| 試行 | サイコロを振る、コインを投げるなど、結果を観察する行為 |
| 標本空間 | 試行によって起こりうる結果全体の集合 |
| 事象 | 標本空間の中から取り出した、ある結果の集合 |
| 確率分布 | 確率変数が取る値と、それに対応する確率の関係 |
| 離散型確率変数 | 飛び飛びの値を取る確率変数 |
| 連続型確率変数 | 連続した値を取る確率変数 |
| 確率質量関数（PMF） | 離散型確率変数が特定の値を取る確率を表す関数 |
| 確率密度関数（PDF） | 連続型確率変数の確率密度を表す関数 |
| 累積分布関数（CDF） | F(x)=P(X\leq x) で定義され、確率変数が x 以下になる確率を表す関数 |
| 期待値 E(X) | 確率変数の値を確率で重み付けして平均した値 |
| 分散 V(X) | 確率変数の値が期待値からどの程度ばらついているかを表す指標 |
| 標準偏差 \sigma | 分散の平方根。データのばらつきの大きさを表す |
| 二項分布 | 成功・失敗の2通りの結果を持つ試行を一定回数行ったときの成功回数を表す確率分布 |
| ポアソン分布 | 一定の時間や空間などで、ある事象が何回発生するかを表す確率分布 |
| 正規分布 | 平均を中心に左右対称の釣鐘型をした代表的な連続型確率分布 |
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