範囲（最小値、最大値）

統計検定2級用語・練習問題
2026.09.28

範囲（レンジ）・最大値・最小値とは？

範囲（Range、レンジ）とは、データの中の「最大値（Maximum）」から「最小値（Minimum）」を引いた値であり、データの全体的な散らばり具合（スパン）を表す最も単純な指標です。

直感的で計算が極めて容易である一方、データ全体のうち極端な2つの値（最大値と最小値）だけに依存するため、外れ値（異常値）の影響を極めて受けやすいという決定的な弱点を持っています。

範囲（Range）の定義と計算公式

データ x_1, x_2, \dots, x_n の最大値を x_{\max}（または \max(x)）、最小値を x_{\min}（または \min(x)）とするとき、範囲 R は次のように定義されます。

R = x_{\max} - x_{\min}
  • 単位： 元のデータと同じ単位（例：\text{cm} や \text{点}）を持ちます。
  • 非負性： 最大値は常に最小値以上であるため、範囲は常に R \ge 0 となります。すべてのデータが等しいときのみ R = 0 です。

一次変換（線形変換）における範囲の変化

データ x_i に対して y_i = a x_i + b という一次変換を行った場合、変換後の最大値・最小値および範囲 R_y は次のように変化します。

1. a > 0 の場合

順序関係が保持されるため、y_{\max} = a x_{\max} + b、y_{\min} = a x_{\min} + b となります。

R_y = y_{\max} - y_{\min} = (a x_{\max} + b) - (a x_{\min} + b) = a (x_{\max} - x_{\min}) = a R_x

2. a < 0[/katex] の場合</h3> <p class="wp-block-paragraph">負の数を掛けると順序関係が逆転するため、[katex]y_{\max} = a x_{\min} + b、y_{\min} = a x_{\max} + b となります。

R_y = y_{\max} - y_{\min} = (a x_{\min} + b) - (a x_{\max} + b) = -a (x_{\max} - x_{\min}) = -a R_x

したがって、標準偏差と同様に一般化すると以下の関係が成り立ちます。

R_y = |a| \cdot R_x
  • 平行移動（+b）： 全体を平行移動してもデータ幅（散らばり）は変化しないため、範囲には影響しません。
  • 倍率（\times a）： 範囲は絶対値 |a| 倍になります。

範囲（Range）の特徴・メリット・デメリット

散らばりの指標（範囲、分散、標準偏差、四分位範囲）を評価する際、それぞれの長所と短所を理解しておくことが重要です。

メリット

  • 計算が非常に簡単： ソート（並び替え）して引き算をするだけで簡単に算出できます。
  • 直感的な理解： データの「全体的な広がり」を直感的に捉えやすい指標です。

デメリット

  • 外れ値（異常値）の影響を大きく受ける： 1つでも異常に大きい値や小さい値が含まれると、範囲の値が跳ね上がってしまいます。
  • 途中のデータ情報が無視される： 最大値と最小値の2点しか使わないため、内部のデータが中央に集中しているか、均等に分散しているかなどの分布の形状を反映できません。
  • サンプルサイズ（n）に依存する： 標本サイズ n が大きくなると極端な値が含まれやすくなるため、範囲は大きくなる傾向があります。

試験対策チェックポイント

  • 一次変換 y = ax + b における範囲の変化は **R_y = |a| R_x** であり、標準偏差の公式と同じ形になる点。
  • 外れ値の影響を抑えた散らばりの指標として**四分位範囲（IQR = Q_3 - Q_1）**が用意されていること（中央50%のデータ幅を見る）。
  • 品質管理（QC手法）などで用いられる「\bar{x}-R 管理図」の R はこの範囲（レンジ）を指している点。

確認問題（統計検定2級レベル）

問題

データの範囲（レンジ）および散らばりの指標に関する次の記述のうち、最も不適切なものを1つ選べ。

  1. ある変量 x の最大値が 30、最小値が 10 であるとき、y = -3x + 50 によって変換された変量 y の範囲は 60 である。
  2. 範囲はすべてのデータの値を計算に利用するため、データ全体の分散状態を最も正確に反映する指標である。
  3. データ中に極端な外れ値が含まれる場合、範囲よりも四分位範囲（IQR）のほうが散らばりの指標として適切である。
  4. 変量 x 全体に定数 b を足して x + b としても、範囲（レンジ）の値は変化しない。

解答・解説

正解： 2

【解説】

1：適切。元の範囲は R_x = 30 - 10 = 20 である。y = -3x + 50 の一次変換における範囲の変化は R_y = |-3| \times R_x = 3 \times 20 = 60 となる（最大値は y = -3(10)+50 = 20、最小値は y = -3(30)+50 = -40 で、20 - (-40) = 60 と直接求めてもよい）。

2：不適切。範囲は最大値と最小値の「2つの値」しか利用しないため、内部のデータの分布状態を反映できない。すべてのデータを利用して散らばりを捉える指標は分散や標準偏差である。

3：適切。四分位範囲（IQR）は第3四分位数 Q_3 と第1四分位数 Q_1 の差であり、両端の25%ずつを除外するため外れ値の影響を受けにくい頑健（ロバスト）な指標である。

4：適切。データ全体の平行移動（+b）は、最大値と最小値の双方に同じ値を加えるため、差である範囲は変化しない。

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