尖度 - シカクラリティ（資格ラリティ）

尖度（Kurtosis）とは？

尖度（せんど、Kurtosis）とは、確率分布やデータの分布が「正規分布に対してどれくらい中央が尖っているか（または裾野が太い・重いか）」を表す統計的尺度です。

中心付近の鋭さだけでなく、平均から大きく離れた外れ値の発生頻度（裾の太さ：Heavy Tail）を評価する指標として非常に重要です。

確率変数 $X$ の平均値を $\mu$ 、標準偏差を $\sigma$ とするとき、尖度は標準化変数の4次モーメントに基づいて定義されます。

定義には、そのままの値を採用する「定義1」と、正規分布の値を 0 とするために 3 を引く「超過尖度（定義2）」の2種類が存在します。

\text{超過尖度} = E\left[ \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^4 \right] - 3 = \frac{E[(X - \mu)^4]}{\sigma^4} - 3

※統計検定やPython/R等の多くの環境では、正規分布の尖度を $0$ とする「超過尖度（ $-3$ したもの）」が使われます。

正規分布に比べて中央が急峻に高く尖り、同時に両側の裾（Tail）が太く広がった形状をしています（例： $t$ 分布、ラプラス分布、金融商品の収益率など）。
平均から極端に離れた大きな値（外れ値）が出現する確率が正規分布より高いことを意味します。

尖度は平均からの偏差の4乗（標準化変数の4次モーメント）に基づく尺度である。
正規分布の基準値： 超過尖度の定義では $0$ （3を引かない定義では $3$ ）であることを確認する。
$t$ 分布の特性： 自由度 $\nu$ の $t$ 分布は、標準正規分布よりも裾が太いため、尖度は正の値（超過尖度 $\gt 0$ ）をとる。自由度が大きくなると正規分布に近づき 0 に収束する。
歪度と同様に、データを一律に正の定数倍（ $y = cx$ ）したり定数を加算（ $y = x + d$ ）したりしても、尖度の値は変化しない（スケール不変・平行移動不変）。

確率分布およびデータの尖度（正規分布の値を 0 とする超過尖度）に関する次の記述のうち、最も不適切なものを1つ選べ。

尖度は分布のピークの鋭さや裾の太さを表す指標であり、標準化変数の4次モーメントに基づいて算出される。
超過尖度が正（ $\gt 0$ ）である分布は、正規分布と比較して中央付近が高く尖っており、かつ平均から大きく離れた裾の部分が太い（外れ値が出やすい）特徴を持つ。
自由度 4 の $t$ 分布は標準正規分布よりも裾が太いため、その超過尖度は負の値をとる。
すべてのデータ値を正の定数倍（一律 2 倍など）しても、標本尖度の値は変化しない。

正解： 3

【解説】

1：適切。尖度の計算定義に関する正しい記述である。

2：適切。超過尖度が正の分布（例： $t$ 分布）は、中央が尖っており、かつ裾が太い（ファットテール）性質を持つ。

3：不適切。 $t$ 分布は標準正規分布に比べて「裾が太い（外れ値が出やすい）」分布であるため、正規分布よりも尖度が大きく、超過尖度は正の値（ $\gt 0$ ）をとる。

4：適切。尖度は標準化変数から計算される無次元量であるため、データの正の定数倍や定数加算によって値は変化しない（スケール不変）。