【統計検定2級】二項分布

今回は、統計検定2級の離散確率分布の中で最も出題されやすい最重要テーマ「二項分布（にこうぶんぷ）」について解説します。

二項分布は、コインの表裏や製品の良品・不良品のように「結果が2通りしかない試行（ベルヌーイ試行）」を複数回繰り返したときに、成功する回数が従う確率分布です。統計検定2級では、確率の計算問題だけでなく、期待値や分散の公式、さらには後半の「統計的仮説検定（比率の検定）」の土台としても頻出するため、完璧な理解が求められます。

二項分布を一言でいうと
二項分布の確率関数（公式）
二項分布の期待値と分散の公式
期待値と分散のスマートな導出プロセス
理解を深める例題（サイコロで1の目が出る回数）
練習問題
まとめ
参考関連用語

二項分布を一言でいうと

二項分布とは、成功確率が p である独立なベルヌーイ試行を n 回繰り返したときに、ちょうど k 回成功する確率の分布のことです。

記号では $B(n, p)$ と表記されます（ $B$ は二項分布を意味する Binomial の頭文字です）。例えば、「表が出る確率が 0.5 のコインを 10 回投げる」という現象は、二項分布 $B(10, 0.5)$ に従います。

二項分布の確率関数（公式）

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n, p)$ に従うとき、 $X$ がちょうど $k$ という値をとる（ $k$ 回成功する）確率 $P(X = k)$ は、以下の公式で計算されます。

P(X = k) = {}_n\mathrm{C}_k p^k (1 - p)^{n - k}

※ $k$ は $0, 1, 2, \dots, n$ の整数値をとります。

数式を言葉で分解すると、以下の3つの要素が掛け合わされていることが分かります。

${}_n\mathrm{C}_k$ ： $n$ 回のうち、どの $k$ 回で成功するかという「組合せ（パターンの数）」です。
$p^k$ ： 確率 $p$ で $k$ 回「成功」する確率です。
$(1 - p)^{n - k}$ ： 残りの $n - k$ 回は確率 $1 - p$ で「失敗」する確率です。

二項分布の期待値と分散の公式

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ は、以下の非常にシンプルな公式で表されます。試験では必須の暗記項目です。

二項分布の期待値（平均）

$E[X] = np$

二項分布の分散

$V[X] = np(1 - p)$

標準偏差

$\mathrm{SD}[X] = \sqrt{np(1 - p)}$

期待値と分散のスマートな導出プロセス

なぜこの公式が成り立つのか、確率変数の和の性質を利用したスマートな証明方法を解説します。スマホ等の画面幅に対応するため、数式は縦に並べて展開します。

二項分布 $B(n, p)$ は、「1回あたりの成功確率が $p$ のベルヌーイ試行を $n$ 回行った合計」と考えることができます。
いま、 $i$ 回目の試行で成功したら 1、失敗したら 0 をとる独立なベルヌーイ確率変数を $X_i$ とすると、合計の成功回数 $X$ は以下のように表せます。 $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$

ここで、個々のベルヌーイ分布の期待値は $E[X_i] = p$ 、分散は $V[X_i] = p(1 - p)$ であることが分かっています。これらに確率変数の和の性質を適用します。

1. 期待値 $E[X]$ の導出

期待値の線形性（そのまま足し算に分解できる性質）より、以下のようになります。

E[X] = E[X_1 + X_2 + \dots + X_n]

$= E[X_1] + E[X_2] + \dots + E[X_n]$

同じ値 $p$ が $n$ 個足されるため、以下の公式が導かれます。

= \underbrace{p + p + \dots + p}_{n \text{個}}

$= np$

2. 分散 $V[X]$ の導出

各試行は「互いに独立」であるため、和の分散の公式（そのまま個別の分散の足し算に分解できる性質）が成り立ちます。

V[X] = V[X_1 + X_2 + \dots + X_n]

$= V[X_1] + V[X_2] + \dots + V[X_n]$

同じ値 $p(1 - p)$ が $n$ 個足されるため、以下の公式が導かれます。

= \underbrace{p(1-p) + p(1-p) + \dots + p(1-p)}_{n \text{個}}

$= np(1 - p)$

理解を深める例題（サイコロで1の目が出る回数）

具体的な数値を用いて、二項分布の確率と期待値・分散の計算を行います。

例題：問題

普通の6面体サイコロを 3 回続けて投げます。このとき、1の目が出る回数を確率変数 $X$ とします。
（1）1の目がちょうど 2 回出る確率を求めてください。
（2）確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めてください。

例題：解答・解説

1の目が出る確率は $p = \frac{1}{6}$ 、試行回数は $n = 3$ です。これは二項分布 $B(3, \frac{1}{6})$ に従います。

（1）の解説
公式 $P(X = k) = {}_n\mathrm{C}_k \, p^k (1 - p)^{n - k}$ に $k = 2$ を代入します。

P(X = 2) = {}_3\mathrm{C}_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{6}\right)^{3 - 2}

$= 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6}$

= \frac{15}{216}

$= \frac{5}{72}$

したがって、ちょうど2回出る確率は $\frac{5}{72}$ となります。

（2）の解説
期待値と分散の公式を適用します。

E[X] = np = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}

$V[X] = np(1 - p) = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$

したがって、期待値は $\frac{1}{2}$ 、分散は $\frac{5}{12}$ となります。

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練習問題

問題

ある工場で製造される製品の不良品率は 5% です。この製造ラインからランダムに 100 個の製品を抽出するとき、含まれる不良品の個数を確率変数 $X$ とします。このとき、 $X$ の標準偏差の値として最も近いものを1つ選んでください。

① 2.18
② 4.75
③ 5.00
④ 25.00

解答・解説

正解：①

解説：
製品を1個抽出するごとに「不良品（成功）」か「良品（失敗）」かの2通りの結果になり、各抽出は独立です。したがって、不良品の個数 $X$ は、試行回数 $n = 100$ 、成功確率 $p = 0.05$ の二項分布 $B(100, 0.05)$ に従います。

標準偏差を求めるために、まずは公式 $V[X] = np(1 - p)$ を用いて分散を計算します。

V[X] = 100 \times 0.05 \times (1 - 0.05)

$= 5 \times 0.95$

= 4.75

標準偏差は分散の正の平方根（ルート）となるため、以下のようになります。

\mathrm{SD}[X] = \sqrt{4.75}

$2^2 = 4$ 、 $2.2^2 = 4.84$ であることから、 $\sqrt{4.75}$ は 2 と 2.2 の間の値（約 2.179）であることが分かります。

選択肢の中で最も近い値は 2.18（①） となります。

まとめ

今回は「二項分布」の公式と性質について解説しました。

二項分布 $B(n, p)$ は、独立なベルヌーイ試行を $n$ 回繰り返したときの成功回数の確率分布です。
ちょうど $k$ 回成功する確率は ${}_n\mathrm{C}_k \, p^k (1 - p)^{n - k}$ の公式で求められます。
期待値は $np$ 、分散は $np(1 - p)$ という極めてシンプルな数式で計算が可能です。

統計検定2級では、二項分布の期待値や分散を直接計算させる問題のほか、試行回数 $n$ が十分に大きい場合に「正規分布に近似して解く」という応用問題も頻出します。まずは基本となるこの二項分布の型を完璧に頭に入れておきましょう。

参考関連用語

用語	簡易的な説明
ベルヌーイ試行	結果が「成功」か「失敗」の2通りしかなく、確率が常に一定である独立な試行です。
離散確率分布	確率変数がとる値が整数のようにとびとびである場合の確率分布を指します。
組合せ（ ${}_n\mathrm{C}_k$ ）	異なる $n$ 個のものから順序を気にせず $k$ 個を選ぶ方法の数です。 $n! / (k!(n-k)!)$ で計算されます。
ポアソン分布	二項分布において、試行回数 $n$ が非常に大きく、成功確率 $p$ が非常に小さい（めったに起きない）場合に近似される確率分布です。