平均値 - シカクラリティ（資格ラリティ）

中心傾向の指標「平均値」とは？
各種平均値の定義と使い分け
平均値の重要な性質と公式
試験対策チェックポイント
確認問題（統計検定2級レベル）

中心傾向の指標「平均値」とは？

データの中心的な位置や全体傾向を表す統計量を「中心傾向の指標（代表値）」と呼びます。その中でも最も頻繁に利用されるのが「平均値（Mean）」です。統計検定2級では、通常の算術平均だけでなく、データの特性に応じた各種平均（加重平均・幾何平均・調和平均）の使い分けや、平均値が持つ重要な数学的性質が頻出となります。

各種平均値の定義と使い分け

データの内容や目的に応じて適切な平均値を選択する必要があります。それぞれの定義と計算公式、適用できるデータの例を押さえましょう。

概念・種類	定義・計算公式	適用場面・具体例	試験での引っかけ・注意点
算術平均 (相加平均)	すべてのデータの和をデータ数で割った値。 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$	通常の長さ、重量、テストの点数など一般的な量的データの要約。	外れ値（極端な値）の影響を非常に強く受ける。右に裾が長い分布などでは代表値として不適切になる場合がある。
加重平均	データそれぞれの重み（ウェイト）を考慮して算出する平均。 $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (w_i \cdot x_i)}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$	各教科の単位数を考慮した成績算出、ポートフォリオの期待収益率、物価指数。	データ数が異なる複数グループの平均値を合算する際、単純な平均値の平均をとってはいけない場合に適用する。
幾何平均 (相乗平均)	全データの積の $n$ 乗根。 $G = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}$	変化率・倍率・成長率の平均（例：過去数年間の売上高成長率、株価の騰落率）。	【超頻出】変化率の平均に算術平均を使うと過大評価になる。負の値や 0 が含まれるデータには使用できない。
調和平均	逆数の算術平均の逆数。 $H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$	速度や割合の平均（例：往復の平均速度、単位時間あたりの作業量）。	「行き60km/h、帰り40km/hの往復平均速度は50km/h」は誤り（正しくは調和平均で 48km/h）。

平均値の重要な性質と公式

計算問題や概念問題で繰り返し問われる平均値の重要な性質です。

1. 偏差の和は常にゼロ

各データ値 $x_i$ と平均値 $\bar{x}$ の差を「偏差（Deviations）」と呼びます。全データの偏差を合計すると、正負が打ち消し合って常に必ず 0 になります。

\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0

2. 一次変換（線形変換）の影響

元のデータ $x_i$ に対して定数 $a$ を掛け、定数 $b$ を足す一次変換 $y_i = a x_i + b$ を行った場合、変換後の平均値 $\bar{y}$ は元の平均値 $\bar{x}$ にそのまま連動します。

\bar{y} = a \bar{x} + b

3. 各種平均値の大小関係

すべてのデータが正の値（ $x_i > 0$ ）であるとき、調和平均 $H$ 、幾何平均 $G$ 、算術平均 $\bar{x}$ の間には常に以下の大小関係が成り立ちます（相加・相乗・調和平均の不等式）。

H \le G \le \bar{x}

※すべてのデータ値が等しい場合（ $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$ ）に限り、等号が成立します。

試験対策チェックポイント

売上伸ばし率や人口増加率など、「パーセンテージや倍率の平均」を問われたら幾何平均（相乗平均）を使用する。
往復の平均移動速度のように「単位あたりの量の平均」を問われたら調和平均を使用する。
データ全体を $a$ 倍して $b$ 足したとき、平均値もそのまま $a$ 倍して $b$ 足されることを計算問題で素早く適用できるようにする。
どのようなデータであっても「偏差の和は 0」になることを分散・標準偏差の導出基礎として記憶しておく。

確認問題（統計検定2級レベル）

問題

平均値に関する次の記述のうち、最も不適切なものを1つ選べ。

ある店舗における過去3年間の売上増加率が順に 10%、20%、32% であったとき、平均増加率を求めるには幾何平均を用いるのが適切である。
データセットの各値 $x_i$ から平均値 $\bar{x}$ を引いた偏差 $x_i - \bar{x}$ の合計は、データの分布形状に関わらず常に 0 になる。
変数値 $x$ の平均値が $\bar{x} = 50$ であるとき、新しい変数 $y = 2x - 10$ の平均値 $\bar{y}$ は 90 となる。
すべてのデータが異なる正の実数であるとき、算術平均 $\bar{x}$ 、幾何平均 $G$ 、調和平均 $H$ の間には常に $\bar{x} < G < H$ の関係が成立する。