中央値 - シカクラリティ（資格ラリティ）

中央値（メディアン）とは？

データを大きさの順（昇順または降順）に並べ替えたとき、ちょうど中央（50%）に位置する値を「中央値（Median：メディアン）」と呼び、記号 $Me$ や $\tilde{x}$ などで表されます。平均値とは異なり、極端な値（外れ値）の影響を受けにくい強い性質を持っています。

データ数 $n$ が「奇数」か「偶数」かによって求め方の手順が異なります。また、グループ化された度数分布表から求める場合の計算方法も非常に重要です。

データ数 $n$	計算方法・順位	計算例（昇順ソート後）
奇数の場合	中央の 1 つの値 $\frac{n+1}{2}$ 番目の値	データ $\{3, 5, \mathbf{8}, 10, 12\}$ （ $n=5$ ） $\frac{5+1}{2} = 3$ 番目の値 $\rightarrow Me = \mathbf{8}$
偶数の場合	中央の 2 つの値の平均 $\frac{n}{2}$ 番目と $\frac{n}{2}+1$ 番目の平均	データ $\{2, 4, \mathbf{6}, \mathbf{10}, 15, 20\}$ （ $n=6$ ） 3番目(6)と4番目(10)の平均 $\rightarrow \frac{6+10}{2} = \mathbf{8}$

階級ごとにグループ化されたデータから中央値を推定する場合、累積度数グラフ（オジーブ）での直線補間を背景とした以下の公式を利用します。

Me = L + \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \times h

極端に大きな値や小さな値（外れ値）がデータに加わっても、中央値はほとんど変化しません。このように外れ値の影響を受けにくい性質を「外れ値に対して頑健（ロバスト：Robust）」と言います。そのため、所得や貯蓄額など歪んだ分布（右に裾が長い分布）の実態を表す代表値として適しています。

任意の値 $a$ に対するデータからの絶対偏差の和 $\sum_{i=1}^{n} |x_i - a|$ を考えたとき、 $a = Me$ （中央値）のときにこの総和が最小になります。（※平均値が「2乗偏差の和」を最小化するの対比として重要です。）

\min_{a} \sum_{i=1}^{n} |x_i - a| \implies a = Me

$a > 0$ の一次変換 $y_i = a x_i + b$ を行うと、元のデータの中央値 $Me_x$ と新しいデータの中央値 $Me_y$ の間にはそのまま以下の関係が成立します。

Me_y = a \cdot Me_x + b

さらに、中央値は単調増加関数 $f(x)$ による変換（例：対数変換 $\log(x)$ など）に対しても $Me_{f(x)} = f(Me_x)$ が成り立つのも大きな特徴です。

中央値（メディアン）に関する次の記述のうち、最も不適切なものを1つ選べ。

データ数が 10 である偶数個のデータセットにおける中央値は、データを小さい順に並べ替えたときの 5 番目と 6 番目のデータの相加平均として求められる。
中央値は外れ値に対して頑健（ロバスト）であるため、一部のデータに極端な入力エラーや巨大な値が含まれていても、数値そのものが大きく変動しにくい。
データ値 $x_i$ と定数 $a$ の差の2乗和 $\sum_{i=1}^{n} (x_i - a)^2$ を最小にするような定数 $a$ の値は中央値である。
すべてのデータ値を 3 倍して 5 を引く変換（ $y_i = 3x_i - 5$ ）を行った場合、新しいデータセットの中央値は「元のデータの中央値の 3 倍から 5 を引いた値」に等しい。