【統計検定2級】加法定理

今回は、統計検定2級の確率分野において基礎となる「確率の加法定理（かほうていり）」について解説します。

確率の加法定理とは、一言で表現すると「2つの事象の少なくとも一方が起こる確率（和事象の確率）」を求めるための計算規則です。この定理を正しく理解することは、統計検定2級の確率計算問題を解くための重要な土台となります。

確率の加法定理を一言でいうと
一般的な場合の加法定理（事象が排反ではない場合）
事象が「排反」である場合の加法定理
「排反」と「非排反」の違いを表で整理
理解を深める例題（ベン図を用いた重複の補正）
練習問題
まとめ
参考関連用語

確率の加法定理を一言でいうと

確率の加法定理とは、2つの事象 A または B の少なくとも一方が起こる確率を、それぞれの確率の足し算（および重複部分の引き算）によって求めるための公式です。

加法定理を適用する際は、2つの事象が同時に起こり得るか（非排反か）、あるいは絶対に同時に起こり得ないか（排反か）によって公式の形が変化します。

一般的な場合の加法定理（事象が排反ではない場合）

2つの事象が同時に起こる可能性が残されている関係（重複部分が存在するケース）の加法定理は、以下のように表されます。

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

$P(A \cup B)$ ：事象 $A$ または事象 $B$ の少なくとも一方が起こる確率（和事象の確率）
$P(A)$ ：事象 $A$ が起こる確率
$P(B)$ ：事象 $B$ が起こる確率
$P(A \cap B)$ ：事象 $A$ と事象 $B$ が同時に起こる確率（積事象の確率）

$P(A)$ と $P(B)$ をそのまま足し算すると、両方が重なっている領域である $P(A \cap B)$ を2回数えてしまうことになります。そのため、最後に重複部分を1回分引き算する点に注意が必要です。

事象が「排反」である場合の加法定理

2つの事象が同時に起こることが絶対にない（重複部分がゼロである）関係を排反（はいはん）あるいは排反事象と呼びます。

同時に起こる確率が $P(A \cap B) = 0$ となるため、引き算をする必要がなくなります。したがって、排反な場合の加法定理は以下のように単純な足し算となります。

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

統計検定2級では、「2つの事象が排反であるか」を問われることがあります。その場合は、 $P(A \cap B) = 0$ が成立しているか、または加法定理の引き算部分が不要であるかを確認することで検証が可能です。

「排反」と「非排反」の違いを表で整理

加法定理における2つの関係性の違いを表にまとめました。

事象の関係	少なくとも一方が起こる確率 $P(A \cup B)$	具体的な例
排反な事象（重複なし）	$P(A) + P(B)$	・1個のサイコロを振るとき、「1の目が出る事象」と「6の目が出る事象」。・同時に両方の目が現れることはありません。
非排反な事象（重複あり）	$P(A) + P(B) - P(A \cap B)$	・1個のサイコロを振るとき、「偶数の目が出る事象（2,4,6）」と「3以上の目が出る事象（3,4,5,6）」。・「4」や「6」はどちらの条件も満たすため、重複します。

理解を深める例題（ベン図を用いた重複の補正）

重複部分の引き算が必要になるケースについて、トランプの例題を用いて解説します。

例題：問題

ジョーカーを除く 52 枚のトランプから 1 枚のカードを無作為に引きます。
このとき、引いたカードが「絵札（ジャック、クイーン、キング）」または「スペードのマーク」である確率を求めてください。

例題：解答・解説

2つの条件を同時に満たすカードが存在するため、これらは排反ではない「非排反」の関係になります。ステップに分けて計算を行います。

引いたカードが絵札である確率 $P(A)$ を求める
トランプの絵札は各マークに 3 枚ずつあり、4つのマークがあるため合計 12 枚です。
$P(A) = \frac{12}{52}$
引いたカードがスペードである確率 $P(B)$ を求める
スペードのカードは全部で 13 枚です。
$P(B) = \frac{13}{52}$
絵札であり、かつスペードでもある確率 $P(A \cap B)$ を求める
「スペードの絵札（J, Q, K）」は 3 枚存在します。これが重複している部分です。
$P(A \cap B) = \frac{3}{52}$
加法定理を適用して、求める確率 $P(A \cup B)$ を計算する
公式にそれぞれの数値を代入します。

\begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B) \ &= \frac{12}{52} + \frac{13}{52} - \frac{3}{52} \ &= \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \end{aligned}

したがって、引いたカードが絵札またはスペードである確率は $\frac{11}{26}$ となります。

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練習問題

問題

ある地域で暮らす世帯を対象に調査を行ったところ、以下の事実が判明しました。
・犬を飼っている世帯の割合： 35%
・猫を飼っている世帯の割合： 25%
・犬または猫の少なくとも一方を飼っている世帯の割合： 50%
このとき、この地域において「犬と猫をどちらも飼っている世帯」の割合として正しいものを1つ選んでください。

① 10%
② 15%
③ 20%
④ 60%

解答・解説

正解：①

解説：
「犬を飼っている」という事象を $A$ 、「猫を飼っている」という事象を $B$ とします。
問題文より、以下の確率が与えられています。
・ $P(A) = 0.35$
・ $P(B) = 0.25$
・ $P(A \cup B) = 0.50$

求めたいのは、犬と猫をどちらも飼っている世帯の割合、すなわち積事象の確率 $P(A \cap B)$ です。

確率の加法定理の公式 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ を変形します。

P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)

数値を代入して計算を行います。

\begin{aligned} P(A \cap B) &= 0.35 + 0.25 - 0.50 \\ &= 0.60 - 0.50 \\ &= 0.10 \end{aligned}

したがって、犬と猫をどちらも飼っている世帯の割合は 10%（①） となります。

まとめ

今回は「確率の加法定理」について解説しました。

確率の加法定理は、2つの事象の少なくとも一方が起こる確率（和事象の確率）を求めるための定理です。
事象に重複がある（非排反）場合は、重複部分を2回数えないように $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ と計算します。
同時に起こり得ない（排反）場合は、重複がゼロであるため $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ と単純に足し算をします。

統計検定2級では、問題文から「2つの事象が同時に起こる可能性があるか」を読み解き、引き算の有無を正しく判断することが求められます。ベン図を描いて、重なりがあるかどうかを視覚的に整理する習慣をつけておくことが重要です。

参考関連用語

用語	簡易的な説明
和事象（ $A \cup B$ ）	2つの事象 $A$ と $B$ の少なくとも一方が起こる事象です。
積事象（ $A \cap B$ ）	2つの事象 $A$ と $B$ がどちらも同時に起こる事象です。
排反事象	2つの事象が同時に起こることが絶対にない関係（ $P(A \cap B) = 0$ ）です。
余事象（ $A^c$ ）	事象 $A$ が「起こらない」という事象です。 $P(A) + P(A^c) = 1$ の関係が成り立ち、これも加法定理の特殊なケースと言えます。

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