カイ二乗値（一様な頻度からのずれ）とは？
サイコロの目、曜日の事故発生数、月ごとの売上件数などが「偏りなく均等（等確率）に発生しているか」を検証する統計的手法を適合度検定（Goodness-of-fit test）と呼びます。
実際の観測データ（観測度数）が「完全に均等であると仮定した場合の理論値（期待度数）」からどれくらい離れているかを数値化した指標がカイ二乗統計量（\chi^2 値）です。
カイ二乗値の計算公式
カテゴリ（試行結果の分類）の数を k、各カテゴリ i の実際の出現回数を観測度数 O_i（Observed）、理論上の平均出現回数を期待度数 E_i（Expected）とすると、カイ二乗値 \chi^2 は以下の公式で計算されます。
一様な頻度（等確率）における期待度数 E_i
総データ数を N、カテゴリ数を k とするとき、すべてのカテゴリで発生確率が等しい（一様分布）と仮定すると、期待度数はすべてのカテゴリで一定値となります。
適合度検定の流れと自由度
一様な頻度からのずれを検定する際の手順は以下の通りです。
- 仮説の設定：
帰無仮説 H_0：出現頻度は一様である（偏りはない）
対立仮説 H_1：出現頻度は一様ではない（偏りがある） - 期待度数の算出： E = \frac{N}{k} を計算（※すべての期待度数が 5 以上であることを確認）。
- カイ二乗値の計算： \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E)^2}{E} を算出。
- 自由度の決定： カテゴリ数を k とするとき、自由度 df は以下になります。
- 判定： 算出された \chi^2 値が、自由度 k-1 のカイ二乗分布の上側有意水準（\alpha）の限界値より大きければ、帰無仮説 H_0 を棄却し「一様な頻度から有意にずれている（偏りがある）」と判定します。
試験対策チェックポイント
- カイ二乗値の分子は差の「2乗」であり、分母は「期待度数 E_i」であること（観測度数 O_i で割らないよう注意）。
- 一様頻度の検定における自由度は df = k - 1（カテゴリ数 k から 1 を引く）。サンプルサイズ N ではない。
- すべての観測度数が期待度数と完全一致する場合、\chi^2 = 0 となる。ずれが大きくなるほど \chi^2 値は大きな正の値をとる。
確認問題（統計検定2級レベル）
問題
ある 6 面体のサイコロを 60 回振ったところ、それぞれの目がでた回数（観測度数）は以下の表のようになりました。
| 目の出方 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 合計 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 観測度数 O_i | 15 | 7 | 12 | 8 | 11 | 7 | 60 |
このサイコロの目の出方が均等（一様）であるかどうかを有意水準 5 % で適合度検定する場合の記述として、最も不適切なものを1つ選べ。
- 帰無仮説の下での各目の期待度数はすべて 10 である。
- この検定におけるカイ二乗統計量の計算式における自由度は 5 である。
- 観測されたデータから算出されるカイ二乗値 \chi^2 は 5.2 である。
- 自由度 5 のカイ二乗分布における上側 5 % 点が 11.07 であるとき、帰無仮説は棄却され「目の出方に偏りがある」と判断される。
解答・解説
正解： 4
【解説】
1：適切。総試行数 N = 60、カテゴリ数 k = 6 より、期待度数は E = 60 / 6 = 10 となる。
2：適切。一様頻度の適合度検定の自由度は df = k - 1 = 6 - 1 = 5 である。
3：適切。カイ二乗値を計算すると、
\chi^2 = \frac{(15-10)^2}{10} + \frac{(7-10)^2}{10} + \frac{(12-10)^2}{10} + \frac{(8-10)^2}{10} + \frac{(11-10)^2}{10} + \frac{(7-10)^2}{10}
\chi^2 = \frac{25 + 9 + 4 + 4 + 1 + 9}{10} = \frac{52}{10} = 5.2 となる。
4：不適切。算出されたカイ二乗値 \chi^2 = 5.2 は、限界値 11.07 よりも小さい（5.2 \lt 11.07）。したがって、帰無仮説は棄却されず、「サイコロの目の出方に偏りがあるとは言えない」と結論づける。
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